Question

（2013•南京二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A(

a

2

，

a

2

)，B(

3

，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（x₀，y₀）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x₀x+3y₀y-6=0．
①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把A，B的坐标代人椭圆的方程即可解得a²，b²；
（2）①把直线l的方程与椭圆的方程联立，证明△=0即可；
②把直线l的方程为x₀x+3y₀y-6=0与过点F且与直线l垂直的方程为3y₀x-x₀y+6y₀=0联立即可得到交点坐标，再利用中点坐标公式即可得到其对称点Q的坐标，得到直线PQ的方程即可证明．

解答：解：（1）由题意得

( a 2 )2 a2 + ( a 2 )2 b2 =1 3 a2 + 1 b2 =1

解得

a2=6 b2=2

所以所求椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）联立

x2 6 + y2 2 =1 x0x+3y0y-6=0

，消去y得(

x

2 0

+3

y

2 0

)x2-12x0x+36-18

y

2 0

=0（*）
由于点P（x₀，y₀）在椭圆C上，∴

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，化为3

y

2 0

=6-

x

2 0

．
故（*）可化为x2-2x0x+

x

2 0

=0．
∵△=(-2x0)2-4

x

2 0

=0．
所以方程组仅有一组解（x₀，y₀），即直线与椭圆有唯一公共点．
②点F（-2，0），过点F且与直线l垂直的方程为3y₀x-x₀y+6y₀=0．
解方程

x0x+3y0y-6=0 3x0x-x0y+6y0=0

，得

x= 6x0-18 y 2 0 x 2 0 +9 y 2 0 y= 18y0+6x0y0 x 2 0 +9 y 2 0

，
因为P（x₀，y₀）在椭圆

x2

6

+

y2

2

=1，∴3

y

2 0

=6-

x

2 0

，所以解即为

x= 3x0-6 3-x0 y= 3y0 3-x0

．
所以点F（-2，0）关于直线l的对称点的坐标为Q(

4x0-6

3-x0

，

6y0

3-x0

)．
当x₀≠2时，kPQ=

6y0 3-x0 -y0

4x0-6 3-x0 -x0

=

y0

x0-2

．
所以直线PQ的方程为y-y0=

y0

x0-2

(x-x0)．
即（x-2）y₀-yx₀+2y=0．
∴

x-2=0 y=0

，即直线过定点M（2，0）．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到根与系数的关系、轴对称、中点坐标公式、直线过定点问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．