Question

已知A，B，C三点不共线，空间内任一点O满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），则“x+y+z=1”是“点P在由A，B，C所确定的平面内”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：利用所学共面向量基本定理可知A，B，C三点不共线，空间内任一点O满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），则“x+y+z=1”是“点P在由A，B，C所确定的平面内”的充要条件．必要性由四点共面入手，利用平面向量的加减运算变形证明，充分性直接把x+y+z=1化为x=1-y-z，代入给出的向量表达式加以证明．

解答： 解：已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），
则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的充要条件．
证明如下：
（必要性）由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x1

BC

+y1

BD

=

OB

+x1(

OC

-

OB

)+y1(

OD

-

OB

)
=（1-x₁-y₁）

OB

+x1

OC

+y1

OD

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
则有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，
由x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，
即：

BA

=y

BC

+z

BD

．
∴四点A、B、C、D共面．
∴空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
∴A，B，C三点不共线，空间内任一点O满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），则“x+y+z=1”是“点P在由A，B，C所确定的平面内”的充要条件．
故选：C．

点评：本题考查了充要条件问题，考查了共面向量基本定理的推广应用，是中档题．