Question

【题目】已知函数f（x）=（ ）x﹣2x ．
（1）若f（x）= ，求x的值；
（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0， ]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=2x＞0，则 ﹣t= ，解得t=﹣4（舍）或t= ，

即2x= ，所以x=﹣26分

（2）解：因为f（﹣x）= ﹣2﹣x=2x﹣ =﹣f（x），

所以f（x）是定义在R上的奇函数，7故f（0）=0，由

f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）8分，

又f（x）=（ ）x﹣2x在R上单调递减，

所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0， ]都成立，

所以m＞ ，θ∈[0， ]，

令μ=cosθ，θ∈[0， ]，则μ∈[0，1]，

y= =﹣1+ ，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞216分

【解析】（1）由f（x）=（ ）x﹣2x= 可求得2x= ，从而可求得x的值；（2）由f（x）=（ ）x﹣2x可判断f（x）为奇函数，且为减函数，不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0， ]都成立，分离参数m，利用函数的单调性可求实数m的取值范围．
【考点精析】掌握函数的值是解答本题的根本，需要知道函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．