Question

17．从椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为右焦点F₂，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F₁A|=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，
（1）求此椭圆的方程．
（2）过右焦点F₂作倾斜角为60°的直线交椭圆于M，N两点，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆方程，求出AB，OP所在直线的斜率，由斜率相等得到b=c，再由，|F₁A|=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$得a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，然后结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求．
（2）利用点到直线的距离公式求出点O到直线的距离为d，弦长公式求出|MN|，则△OMN的面积s=$\frac{1}{2}$|MN•d．

解答 解：（1）∵AB∥OP，A（-a，0），B（0，b），P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴k_AB=k_OP，即$\frac{b}{a}=\frac{{b}^{2}}{ac}$，也就是b=c ①，又∵|F₁A|=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$得a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$②，且a²=b²+c² ③．
联立①②③可得：a=$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{5}$．
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）F₂（$\sqrt{5}$，0），直线方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{5}$），代入椭圆方程并整理得：7x²-12$\sqrt{5}$x+20=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁x₂=$\frac{20}{7}$，x₁+x₂=$\frac{12\sqrt{5}}{7}$，
点O到直线的距离为d=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
|MN|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{8\sqrt{10}}{7}$，∴△OMN的面积s=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{10\sqrt{6}}{7}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，及运算能力，属于中档题．