Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,F1,F2为C的左右焦点,M为C上任意一点,最大值为1.

（1）求椭圆C的方程;

（2）不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.

①若,且,求m的值.

②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①,②.

【解析】

（1）根据题意，可求得c=1，b=1，进而求得a，由此得到椭圆方程;

（2）①联立方程，得到k与m的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB及点O到直线AB的距离，由此建立等式解出即可;②依题意，k1+k2=0，由此可得到k与m的等量关系，进而求得定点.

解：（1）由抛物线的方程y2=4x得其焦点为(1，0)，则c=1，

当点M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2面积最大，此时，则b=1，

∴，故椭圆的方程为;

（2）联立得，(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=16k2m2﹣4(2k2+1)(2m2﹣2)=8(2k2﹣m2+1)>0，得1+2k2>m2(*)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，

①∵m≠0且，代入(*)得，0<m2<2，

，

设点O到直线AB的距离为d，则，

∴，

∴m2=1∈(0，2)，则m=±1;

②，

由题意，k1+k2=0，

∴，即2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0，

∴，

解得m=﹣2k，

∴直线l的方程为y=k(x﹣2)，故直线l恒过定点，该定点坐标为(2，0).