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已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且倾斜角为120°的直线与曲线M相交于A,B两点,A,B在直线l上的射影是A1,B1
①求梯形AA1B1B的面积;
②若点C是线段A1B1上的动点,当△ABC为直角三角形时,求点C的坐标.

解:(1)曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)①由题意得,直线AB的方程为y=-(x-1),
消y得
3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3
于是,A点和B点的坐标分别为A(),B(3,-2),
所以|A1B1|=+=,|AA1|+|BB1|=x1+x2+2=
S=(|AA1|+|BB1|)|A1B1|=
②设C(-1,y)使△ABC成直角三角形,
|AC|2=(-1-2+(y-2=-+y2
|BC|2=(3+1)2+(y+2=28+4y+y2
|AB|2==
(i) 当∠A=90°时,得直线AC的方程为y-=(x-),
求得C点的坐标是(-1,-).
(ii) 因为∠ABB1=60°,所以,∠ABC不可能为直角.
(iii)当∠C=90°时,由几何性质得C点是A1B1的中点,即C点的坐标是(-1,).
故当△ABC为直角三角形时,点C的坐标是(-1,-)或(-1,).
分析:(1)根据抛物线的定义,可知动圆圆心的轨迹为抛物线,再利用抛物线的标准方程求出动圆圆心的轨迹M的方程.
(2)①根据直线的倾斜角为120°,可得到直线的斜率,再根据直线过定点P(1,0),就可用直线方程的点斜式写出直线方程,再与(1)中所求抛物线方程联立,解出A,B点坐标,求出,|AA1|+|BB1|,再利用梯形的面积公式,求出梯形AA1B1B的面积.
②因为△ABC为直角三角形,没有给出那一个角是直角,所以分三种情况讨论,(i)∠A=90°,(ii)∠ABC=90°,
(iii)∠C=90°,分别求出P点坐标.
点评:本题主要考查了定义法求点的轨迹方程,以及抛物线中,由焦点弦,准线,焦点弦的两个端点到准线的垂线段组成的梯形的性质.
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精英家教网已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(Ⅱ)设过点P,且斜率为-
3
的直线与曲线M相交于A,B两点.
(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;
(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.

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(2)设过点P且斜率为-
3
的直线与曲线M相交于A、B两点,求线段AB的长;
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(2007•宝山区一模)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切.
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(2)设过点P,且倾斜角为120°的直线与曲线M相交于A,B两点,A,B在直线l上的射影是A1,B1
①求梯形AA1B1B的面积;
②若点C是线段A1B1上的动点,当△ABC为直角三角形时,求点C的坐标.

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(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(2)设过点P,且斜率为-
3
的直线与曲线M相交于A、B两点.问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由.

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科目:高中数学 来源:2009年高考数学压轴试卷集锦(1)(解析版) 题型:解答题

已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(Ⅱ)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A,B两点.
(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;
(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.

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