Question

如图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米．现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5．为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？

Answer 1

答案：
解析：

解：设|DA|＝x(千米)，铁路每吨千米运费3a，公路每吨千米运费5a，从B到C的总费用为y，则依题意，得 　　y＝3a(100－x)＋5a，x∈(0，100)， 　　即＝5－3x． 　　令t＝，则有t＋3x＝5． 　　平方、整理，得16x2－6tx＋10000－t2＝0．① 　　由①36t2－4×16(10000－t2)≥0，得|t|≥80． 　　∵t＞0，∴t≥80． 　　将t＝80代入方程①，得x＝15，这时t最小，y也最小． 　　故当D点选在距A点15千米处时，总运费最省． 　　思路分析：据题设知，单位距离的公路运费大于铁路运费，又知|BD|＋|DC|≤|BA|＋|AC|，因此只有点D选在线段BA上某一适当位置，才能使总运费最省．若设D点距A点x千米，从B到C的总动费为y，建立y与x的函数，则通过函数y＝f(x)的最小值，可确定点D的位置．