Question

请观察以下三个式子：
①1×3=

1×2×9

6

；
②1×3+2×4=

2×3×11

6

；
③1×3+2×4+3×5=

3×4×13

6

，
归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．

Answer 1

分析：观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答：解：由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=

n(n+1)(2n+7)

6

---------（4分）
证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=

k(k+1)(2k+7)

6

------------（6分）
那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）
=

k(k+1)(2k+7)

6

+（k+1）（k+3）
=

k+1

6

（2k²+7k+6k+18）=

k+1

6

（2k²+13k+18）=

(k+1)(k+2)(2k+9)

6

，
就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）

点评：本题考查数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．属于中档题，