Question

已知等差数列{a_n}，前n项和为S_n，若a₃=3，S₄=10
（1）求通项公式a_n；
（2）求S_n的最小值；
（3）令bn=

1

4an2-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a₃=3，S₄=10，求出数列的首项和公差，然后求通项公式．（2）求出S_n的表达式，然后利用二次函数或利用等差数列的性质求最小值．
（3）求出数列{b_n}的通项公式，然后利用裂项法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由题意可知，

a3=a1+2d=3 S4=4a1+ 4×3 2 d=10

⇒

a1=1 d=1

，所以a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）方法1：因为公差d=1＞0，所以等差数列为递增数列，所以S_n≥S₁=1．
方法2：Sn=

n(n+1)

2

=

1

2

(n+

1

2

)2-

1

8

，对称轴为n=-

1

2

，所以当n=1时，S_n最小为S₁=1．
（3）因为bn=

1

4 a 2 n -1

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式以及前n项和，以及利用裂项法求数列的和的问题，要求熟练掌握．