Question

16．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，则AC₁与BD所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC₁的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC₁，从而∠BOP是AC₁与BD所成角（或所成角的补角），由此利用余弦能求出AC₁与BD所成角的余弦值．

解答 解：连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC₁的中点O，连结OP，
由三角形中位线定理得OP∥AC₁，
∴∠BOP是AC₁与BD所成角（或所成角的补角），
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=3，AA₁=2$\sqrt{6}$，
∴OB=OC=$\frac{1}{2}\sqrt{16+9}$=$\frac{5}{2}$，PC=$\sqrt{6}$，OP=$\sqrt{6+\frac{25}{4}}$=$\frac{7}{2}$，
BP=$\sqrt{9+6}$=$\sqrt{15}$，
∴cos∠BOP=$\frac{O{B}^{2}+O{P}^{2}-B{P}^{2}}{2×OB×OP}$=$\frac{\frac{25}{4}+\frac{49}{4}-15}{2×\frac{5}{2}×\frac{7}{2}}$=$\frac{1}{5}$．
∴AC₁与BD所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．