Question

7．已知函数f（x）=（1-k）x+$\frac{m}{x}$+2，其中k，m∈R，且m≠0．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）k如何取值时，方程f（x）=0有解，并求出方程的解．

Answer 1

分析 （1）由题意得，x≠0，从而写出定义域即可；
（2）分类讨论首先确定函数是对勾函数还是反比例函数，当是对勾函数时再讨论即可．

解答 解：（1）由题意得，x≠0，
故函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）（i）当1-k=0，即k=1时，方程f（x）=0的解为x=-$\frac{2}{m}$；
（ii）当k≠1时，方程f（x）=0可化为
$\frac{（1-k）{x}^{2}+2x+m}{x}$=0，
∵m≠0，
∴原方程可化为（1-k）x²+2x+m=0，
∴①当△=4-4（1-k）m＜0，即（1-k）m＞1时，
方程f（x）=0无解，
②当△=4-4（1-k）m=0，即（1-k）m=1时，
方程f（x）=0有且只有一个解x=-$\frac{1}{1-k}$=$\frac{1}{k-1}$；
③当△=4-4（1-k）m＞0，即（1-k）m＜1时，
方程f（x）=0有两个解，x=$\frac{1±\sqrt{1-（1-k）m}}{k-1}$．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及分类讨论的思想应用．