Question

4．如图，将矩形纸片ABCD（其中$AB=\sqrt{3}$，BC=1）沿对角线AC折起后，使得异面直线BC⊥AD，则此时异面直线AB和CD所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 设矩形纸片ABCD折起前B点为B₁，连结BB₁，DB₁，由已知条件推导出BC⊥BD，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥B₁C，从而求出BB₁，由DC∥AB₁，得∠BAB₁是异面直线AB和CD所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB和CD所成的角的余弦值．

解答 解：设矩形纸片ABCD折起前B点为B₁，连结BB₁，DB₁，
∵BC⊥AD，BC⊥AB，AB∩AD=A，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥BD，
∵$AB=\sqrt{3}$，BC=1，∴BD=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，∴BD⊥B₁C，
∵BB₁∩BC=B，∴BD⊥BB₁，
∴BB₁=$\sqrt{{B}_{1}{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1+3-2}$=$\sqrt{2}$，
∵DC∥AB₁，∴∠BAB₁是异面直线AB和CD所成的角（或所成角的补角），
cos∠BAB₁=$\frac{A{B}^{2}+A{{B}_{1}}^{2}-B{{B}_{1}}^{2}}{2AB•A{B}_{1}}$=$\frac{3+3-2}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$．
∴异面直线AB和CD所成的角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线AB和CD所成的角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养和余弦定理的合理运用．