Question

14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：函数f（x）恒有f（x+4）=f（x）成立；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；
（2）由[0，2]上的表达式先求[-2，0]上的表达式，再求[2，4]上的表达式；
（3）由周期性可化为f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504[f（0）+f（1）+f（2）+f（-1）]，再由奇偶性求解．

解答 （1）证明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；
（2）解：∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴x∈[-2，0]时，f（x）=2x+x²，
故当x∈[2，4]时，f（x）=f（x-4）
=2（x-4）+（x-4）²
=x²-6x+8；
（3）解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数；
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）
=504[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]
=504[f（0）+f（1）+f（2）+f（-1）]
=0．

点评 本题考查了抽象函数的周期性与奇偶性的判断与应用，同时考查了函数解析式的求法，属于中档题．