Question

19．已知函数f（x）=a^x|a^x-2|，（a＞0，a≠1）
（1）解方程f（x）=3；
（2）当x∈（0，1]时，关于x的不等式f（x）＜3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设t=a^x，则t＞0，f（x）=3，可化为t|t-2|=3，再分类讨论，即可得出结论；
（2）x∈（0，1]，t介于1，a之间，分类讨论，得出0＜t＜3，即可得出结论．

解答 解：（1）设t=a^x，则t＞0，
f（x）=3，可化为t|t-2|=3，
t≥2，t²-2t-3=0，∴t=3，∴x=log_a3
0＜t＜2，t²-2t+3=0，无解；
（2）x∈（0，1]，∴t介于1，a之间．
t|t-2|＜3，化为t≥2，t²-2t-3＜0，∴2≤t＜3
0＜t＜2，t²-2t+3＞0，恒成立，
∴0＜t＜3．
1＜a＜3时，1＜t≤a，0＜x≤1；a≥3时，1＜t＜3，0＜x＜log_a3；0＜a＜1时，a≤t＜1，0＜x≤1
综上，0＜a＜1或1＜a＜3．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查换元法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．