Question

11．已知函数y=$\sqrt{\frac{2-x}{2+x}}$+lg（-x²+4x-3）的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M使，求函数f（x）=4^x-a•2^x+2（a＞1）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可求出集合M；（2）通过换元法结合二次函数的性质求出其闭区间上的最值即可．

解答 解：（1）由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-x}{2+x}≥0}\\{2+x≠0}\\{{-x}^{2}+4x-3＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜x≤2，
∴M=（1，2]；
（2）f（x）=2^2x-4a2^x，x∈（1，2]，
令t=2^x，则t∈（2，4]，
∴f（x）=f（t）=t²-4at=（t-2a）²-4a²，
∵a＞1，∴2a＞2，
f（t）的对称轴是：x=2a，
当2＜2a＜4即1＜a＜2时：
f（t）在（1，2a）递减，在（2a，4]递增，
∴f（t）_min=f（2a）=-4a²，
当2a≥4即a≥2时：
f（t）在（2，4]递减，
f（t）_min=f（4）=16-16a．

点评 本题考查了求函数的定义域问题，考查二次函数的性质以及函数的最值问题，是一道基础题．