Question

(理)如图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱AD=DC=3,DD₁=4,过点D作D₁C的垂线交CC₁于点E,交D₁C于点F.

(1)求证:A₁C⊥BE;

(2)求二面角E-BD-C的大小;

(3)求BE与平面A₁D₁C所成角的正弦值.

(文)如图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,棱AD=DC=3,DD₁=4,E是A₁A的中点.

(1)求证:A₁C∥平面BED;

(2)求二面角E-BD-A的大小;

(3)求点E到平面A₁BCD₁的距离.

Answer 1

解法一：(1)证明:连结AC交BD于点O,由已知ABCD是正方形,则AC⊥BD.

∵A₁A⊥底面ABCD,由三垂线定理有A₁C⊥BD.

同理,A₁C⊥DE.

∵BD∩DE=D,

∴A₁C⊥平面EBD.

∵BE平面EBD,

∴A₁C⊥BE.                                                             

(2)连结EO,由EC⊥平面BCD,且AC⊥BD,知EO⊥BD.

∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角.

已知AD=DC=3,DD₁=4,

可求得D₁C=5,DF=,∴CF=.

则EF=,EC=,OC=.                                               

在Rt△ECO中,tan∠EOC=.

∴二面角E-BD-C的大小为arctan.                                        

(3)连结A₁B,由A₁D₁∥BC,知点B在平面A₁D₁C内,

由(1)知A₁C⊥DE,又∵A₁D₁⊥DE,

且A₁C∩A₁D₁=A₁,

∴DE⊥平面A₁D₁C且F为垂足.

连结BF,

∠EBF为BE与平面A₁D₁C所成的角.

∵EF=,BE=,                                                        

在Rt△FEB中,sin∠EBF=.

∴BE与平面A₁D₁C所成角的正弦值为.                                  

解法二：(1)证明:如图建立空间直角坐标系A—xyz,则A₁(0,0,4),C(3,3,0),B(3,0,0),E(3,3,).

∴=(3,3,-4),=(0,3,),

=3×0+3×3-4×=0.

∴.∴A₁C⊥BE.                                                

(2)D(0,3,0),=(-3,3,0),平面BCD的法向量为=(0,0,),                    

设平面BED的法向量为m=(x′,y′,z′),

则

即

令y′=-3,则m=(-3,-3,4).                                           

cos〈,m〉=                               

∴二面角E-BD-C的大小为arccos.                                    

(3)D₁(0,3,4),则=(0,3,0),设平面A₁D₁C的法向量为n=(x,y,z),

则

即

解之,得

令z=3,则n=(4,0,3).                                                         

cos〈,n〉=.

∴BE与平面A₁D₁C所成角的正弦值为.                                  

(文)解法一：(1)证明:连结AC交BD于点O,则O是AC的中点.连结EO,有A₁C∥EO.

∵EO平面BED,A₁C平面BED,

∴A₁C∥平面BED.                                                        

(2)∵AC⊥BD于O,又∵E是A₁A的中点,

∴EB=ED.∴EO⊥BD.?

∴∠EOA是二面角E-BD-A的平面角.                                       

在Rt△EAO中,EA=AA₁=2,AO=AC=,

∴tan∠EOA=.

∴二面角E-BD-A的大小是arctan.                                     

(3)过点E作EF⊥A₁B于F,

∵A₁D₁⊥平面A₁B₁BA,EF平面A₁B₁BA,

∴A₁D₁⊥EF且A₁B∩A₁D₁=A₁.

∴EF⊥平面A₁BCD₁.                                                     

则EF的长是点E到平面A₁BCD₁的距离.                                    

∵,且A₁E=2,A₁B=5,AB=3,

∴EF=,

即点E到平面A₁BCD₁的距离是.                                         

解法二：(1)证明:如图建立空间直角坐标系.取BD的中点O,连结EO,

A₁(0,0,4),C(3,3,0),E(0,0,2),O(,0).                                        

=(3,3,-4),=(,-2),

∵=2,∴A₁C∥EO.

∵EO平面BED,A₁C平面BED,

∴A₁C∥平面BED.                                                        

(2)由于AE⊥平面ABCD,则=(0,0,2)就是平面ABCD的法向量.               

B(3,0,0),D(0,3,0),BE=(-3,0,2),=(-3,3,0).

设平面EBD的法向量为n=(x,y,z).

由得

令z=3,则n=(2,2,3).                                                        

cos〈n,〉=.

∴二面角E-BD-A的大小为arccos.                                     

(3)D₁(0,3,4),则=(0,3,0),设平面A₁BCD₁的法向量为m=(x′,y′,z′).

即

解之,得

令z′=3,则m=(-4,0,-3).                                                     

又=(-3,-3,2),h=,

即点E到平面A₁BCD₁的距离为.