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(08年广东佛山质检理)如图,在组合体中,是一个长方体,是一个四棱锥.,点

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求与平面所成的角的正切值;

(Ⅲ)若,当为何值时,


 

解析:(Ⅰ)证明:因为,所以为等腰直角三角形,所以.                                                    ……1分

因为是一个长方体,所以,而,所以,所以.             ……3分

因为垂直于平面内的两条相交直线,由线面垂直的判定定理,可得.…4分

(Ⅱ)解:过点在平面,连接.……5分

因为,所以,所以就是与平面所成的角.……6分

因为,所以.        ……7分

所以与平面所成的角的正切值为.                   ……8分

(Ⅲ)解:当时,.                             ……9分

时,四边形是一个正方形,所以,而,所以,所以.                                 ……10分

在同一个平面内,所以.        ……11分

,所以,所以.                           ……12分

方法二、方法二:(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系,设棱长,则有.                              ……2分

于是,所以.……3分

所以垂直于平面内的两条相交直线,由线面垂直的判定定理,可得.                                             ……4分

(Ⅱ),所以,而平面的一个法向量为.…5分

所以.                            ……6分

所以与平面所成的角的正弦值为.                 ……7分

所以与平面所成的角的正切值为.                 ……8分

(Ⅲ),所以.设平面的法向量为,则有,令,可得平面的一个法向量为.                                                   ……10分

若要使得,则要,即,解得.…11分

所以当时,.                               ……12分

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