(08年广东佛山质检理)如图,在组合体中,是一个长方体,是一个四棱锥.,,点且.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求与平面所成的角的正切值;
(Ⅲ)若,当为何值时,.
解析:(Ⅰ)证明:因为,,所以为等腰直角三角形,所以. ……1分
因为是一个长方体,所以,而,所以,所以. ……3分
因为垂直于平面内的两条相交直线和,由线面垂直的判定定理,可得.…4分
(Ⅱ)解:过点在平面作于,连接.……5分
因为,所以,所以就是与平面所成的角.……6分
因为,,所以. ……7分
所以与平面所成的角的正切值为. ……8分
(Ⅲ)解:当时,. ……9分
当时,四边形是一个正方形,所以,而,所以,所以. ……10分
而,与在同一个平面内,所以. ……11分
而,所以,所以. ……12分
方法二、方法二:(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系,设棱长,则有,,,. ……2分
于是,,,所以,.……3分
所以垂直于平面内的两条相交直线和,由线面垂直的判定定理,可得. ……4分
(Ⅱ),所以,而平面的一个法向量为.…5分
所以. ……6分
所以与平面所成的角的正弦值为. ……7分
所以与平面所成的角的正切值为. ……8分
(Ⅲ),所以,.设平面的法向量为,则有,令,可得平面的一个法向量为. ……10分
若要使得,则要,即,解得.…11分
所以当时,. ……12分
科目:高中数学 来源: 题型:
(08年广东佛山质检理)已知抛物线及点,直线斜率为且不过点,与抛物线交于点、两点.
(Ⅰ)求直线在轴上截距的取值范围;
(Ⅱ)若、分别与抛物线交于另一点、,证明:、交于定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年广东佛山质检文)某物流公司购买了一块长米,宽米的矩形地块,规划建设占地如图中矩形的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点在地块对角线上,、分别在边、上,假设长度为米.
(1)要使仓库占地的面积不少于144平方米,长度应在什么范围内?
(2)若规划建设的仓库是高度与长度相同的长方体形建筑,问长度为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计)
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科目:高中数学 来源: 题型:
(08年广东佛山质检理)抛物线的准线的方程为,该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等,圆N是以N为圆心,同时与直线 相切的圆,
(Ⅰ)求定点N的坐标;
(Ⅱ)是否存在一条直线同时满足下列条件:
① 分别与直线交于A、B两点,且AB中点为;
② 被圆N截得的弦长为.
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