Question

设函数f（x）=1-e^-x。
（1）证明：当x>-1时，；
（2）设当x≥0时，，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）当x>-1时，当且仅当e^x≥1+x
令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数；
当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（-∞，0]是减函数，
于是g（x）在x=0处达到最小值，
因而当x∈R时，g（x）≥g（0），即e^x≥1+x
所以当x>-1时，；
（2）由题设x≥0，此时f（x）≥0
当a<0时，若
则不成立；
当a≥0时，令h（x）= axf（x）+f（x）-x，则当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1 =af（x）-axf（x）+ax-f（x）
 （i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x），
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x） =（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤；
（ii）当时，由（i）知x≥f（x），
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x） ≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当时，h'（x）>0，
所以h（x）>h（0）=0，即f（x）＞
综上，a的取值范围是。