【题目】已知函数,.
(1)当时,求函数的单调区间和极值;
(2)若对于任意,都有成立,求实数的取值范围;
(3)若,且,证明:.
【答案】(1)答案见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意x>0,由此根据k≤0,k>0利用导数性质分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间和极值.
(2)问题转化为,对于x∈[e,e2]恒成立,令,则,令,由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.
(3)设,则,要证,只要证,即证,由此利用导数性质能证明.
试题解析:
(1),
①时,因为,所以,
函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值;
②当时,令,解得,
当时,;当,.
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是,
在区间上的极小值为,无极大值.
(2)由题意,,
即问题转化为对于恒成立,
即对于恒成立,
令,则,
令,则,
所以在区间上单调递增,故,故,
所以在区间上单调递增,函数.
要使对于恒成立,只要,
所以,即实数k的取值范围为.
(3)证法1 因为,由(1)知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且.
不妨设,则,
要证,只要证,即证.
因为在区间上单调递增,所以,
又,即证,
构造函数,
即,.
,
因为,所以,即,
所以函数在区间上单调递增,故,
而,故,
所以,即,所以成立.
证法2 要证成立,只要证:.
因为,且,所以,
即,,
即,
,同理,
从而,
要证,只要证,
令不妨设,则,
即证,即证,
即证对恒成立,
设,,
所以在单调递增,,得证,所以.
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【题目】某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况,从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析.经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图,并发现这100名学生中,身高不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示,用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.
(1)求该市高三学生身高高于1.70米的概率,并求图1中、、的值.
(2)若从该市高三学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望;
(3)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布的概率分布,则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.
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【题目】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
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【题目】已知f(x)=xlnx﹣ax,g(x)=﹣x2﹣2.
(1)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=﹣1时,求函数f(x)在区间[m,m+3](m>0)上的最值;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有 成立.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试,求:第组至少有一名学生被考官面试的概率.
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【题目】某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入(万元)满足(其中是该产品的月产量,单位:百台),假定生产的产品都能卖掉,请完成下列问题:
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中, ,E,F分别是底边AB,CD的中点,把四边形BEFC沿直线EF折起,使得面BEFC⊥面ADFE,若动点P∈平面ADFE,设PB,PC与平面ADFE所成的角分别为θ1 , θ2(θ1 , θ2均不为0).若θ1=θ2 , 则动点P的轨迹为( )
A.直线
B.椭圆
C.圆
D.抛物线
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【题目】已知函数,.
(1)若在处的切线与在处的切线平行,求实数的值;
(2)若,讨论的单调性;
(3)在(2)的条件下,若,求证:函数只有一个零点,且.
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【题目】已知圆的方程为.
(1)求过点且与圆相切的直线的方程;
(2)直线过点,且与圆交于两点,若,求直线的方程;
(3)是圆上一动点,,若点为的中点,求动点的轨迹方程.
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