Question

【题目】某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．

（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中、、的值．

（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记为身高在的学生人数，求的分布列和数学期望；

（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）概率为0.15．，，．（2）见解析（3）正常

【解析】分析：（1）先利用概率公式求这批学生的身高高于1.70的概率，再求、、，从而得到a,b,c的值.(2)由于随机变量服从二项分布，根据二项分布求的分布列和数学期望.(3)先求、，再根据已知判断该市高三学生的身高发育总体是否正常.

详解：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15．

记为学生的身高，结合图1可得：

，

，

，

又由于组距为0.1，所以，，．

（2）以样本的频率估计总体的概率，

可知从这批学生中随机选取1名，身高在的概率为

，

因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验，

所以随机变量服从二项分布，

分布列为：，

	0	1	2	3
	0.027	0.189	0.441	0.343

（或）

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又结合（1），可得：，

，

所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．