Question

17．在数列{a_n}的前n项和为S_n，2（S_n+1）=3a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{2n}{{a}_{n}}$}前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵2（S_n+1）=3a_n（n∈N^*），
∴当n=1时，2（a₁+1）=3a₁，解得a₁=2，
当n≥2时，2（S_n-1+1）=3a_n-1，2a_n=3a_n-3a_n-1，化为a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为3，
∴a_n=2×3^n-1．
（2）证明：$\frac{2n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴数列{$\frac{2n}{{a}_{n}}$}前n项和为T_n=$1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{2}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$$＜\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．