Question

8．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-1，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影是-3，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BA}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）若λ=$\frac{1}{3}$，求|$\overrightarrow{OD}$|；
（3）若OD⊥BA，求λ．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的定义求得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=120°，并求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值．
（2）由条件求得|$\overrightarrow{a}$|=6．再根据λ=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BA}$，可得 $\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，从而求得|$\overrightarrow{OD}$|=|$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）}^{2}}$ 的值．
（3）若OD⊥BA，则$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BA}$=（ λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow{b}$ ）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=52λ-10=0，求得 λ的值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-1，且|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-1，
可得2cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-1，求得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=120°．
再由，$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影是-3，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=|$\overrightarrow{b}$|•（-3）=-6．
（2）由（1）可得|$\overrightarrow{a}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=|$\overrightarrow{a}$|•（-$\frac{1}{2}$）=-3，∴|$\overrightarrow{a}$|=6．
再根据λ=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），即 $\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴|$\overrightarrow{OD}$|=|$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}{•\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\frac{4}{9}\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{9}×36+\frac{4}{9}×6×2×（-\frac{1}{2}）+\frac{4}{9}×4}$=$\frac{\sqrt{76}}{3}$．
（3）若OD⊥BA，则$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{BA}$=（ λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）•$\overrightarrow{b}$ ）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=λ${\overrightarrow{a}}^{2}$+（λ-1）${\overrightarrow{b}}^{2}$+（1-2λ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=36λ+4（λ-1）+（1-2λ）（-6）=52λ-10=0，
求得 λ=$\frac{5}{26}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法以及其几何意义，属于基础题．