Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（3，0），$\overrightarrow{b}$=（-5，5），求：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）；
（3）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（4）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与λ$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的角为钝角，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算即可；
（2）先求向量$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可；
（3）根据向量夹角余弦的坐标公式进行运算即可；
（4）先写出向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$和$λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$的坐标，设这两向量夹角为θ，根据cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}＜0$即可求出λ的取值范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-15$；
（2）$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（11，-5），\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=（-12，15）$；
∴$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）=-11×12-5×15=-207$；
（3）$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-15}{3×5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为135°；
（4）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（-2，5）$，$λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=（-5λ-3，5λ）$；
∵$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$λ\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$的夹角为钝角，并设该夹角为θ，则：
cosθ=$\frac{35λ+6}{\sqrt{29}•\sqrt{（-5λ-3）^{2}+25{λ}^{2}}}＜0$；
∴35λ+6＜0；
∴$λ＜-\frac{6}{35}$；
∴λ的取值范围为（-∞，-$\frac{6}{35}$）．

点评 考查数量积的坐标运算，向量坐标的加法、减法，与数乘运算，向量夹角余弦的坐标公式，向量夹角的概念．