Question

7．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F₁（-1，0），右准线方程为：x=4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标；
（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为P₁、Q₁，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形PQP₁Q₁的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{a^2}{c}=4}\end{array}}\right.$，计算即得结论；
（2）设N（x，y），可得MN²的表达式是一个关于x的二次函数，分对称轴x=4m在（0，2]、（2，+∞）两种情况讨论即可；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通过斜率计算可得${x_1}^2+{x_2}^2=4$，分x₁=x₂、x₁≠x₂两种情况讨论，利用点到直线的距离公式、三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：（1）设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），
由题意得：$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{a^2}{c}=4}\end{array}}$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}}$，
∴b²=3，
∴椭圆C的标准方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1；
（2）设N（x，y），则$M{N^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（1-\frac{x^2}{4}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}$+3，
对称轴：x=4m，-2≤x≤2，
①当0＜4m≤2，即0＜m≤$\frac{1}{2}$，x=4m时，MN²_min=-3m²+3=1，
解得：m²=$\frac{2}{3}＞\frac{1}{4}$，不符合题意，舍去；
②当4m＞2，即$\frac{1}{2}$＜m＜2，x=2时，MN²_min=m²-4m+4=1，
解得：m=1或m=3；
∵$\frac{1}{2}$＜m＜2，∴m=1；
综上：m=1，N（2，0）；
（3）结论：四边形PQP₁Q₁的面积为定值4$\sqrt{3}$．
理由如下：
由题意得：四条垂线的方程为：x=±2，y=±$\sqrt{3}$，
则$A（2，\sqrt{3}）$，$B（-2，\sqrt{3}）$，∴k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$                          （*）
PQ=$\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$．
∵点P、Q在椭圆C上，∴${y_1}^2=3（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}）$，${y_2}^2=3（1-\frac{{{x_2}^2}}{4}）$，
将（*）式平方得：9x₁²x₂²=16y₁²y₂²=9（4-x₁²）（4-x₂²），即x₁²+x₂²=4，
①若x₁=x₂，则P、P₁、Q、Q₂分别是直线OA、OB与椭圆的交点，
∴四个点的坐标为：$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，$（\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，$（-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，$（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
∴四边形PQP₁Q₁的面积为4$\sqrt{3}$；
②若x₁≠x₂，则直线PQ的方程可设为：y-y₁=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
化简得：（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
∴点O到直线PQ的距离为d=$\frac{{|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|}}{{\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}}}$，
∴△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}PQ•d=\frac{1}{2}|{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}|=\frac{1}{2}\sqrt{{x_1}^2{y_2}^2-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}+{x_2}^2{y_1}^2}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{3{x_1}^2（1-\frac{{{x_2}^2}}{4}）+\frac{3}{2}{x_1}^2{x_2}^2+3{x_2}^2（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}}）=\frac{1}{2}\sqrt{3（{x_1}^2+{x_2}^2）}=\frac{1}{2}\sqrt{3×4}=\sqrt{3}$．
根据椭圆的对称性，故四边形PQP₁Q₁的面积为4S，即为定值4$\sqrt{3}$．
综上：四边形PQP₁Q₁的面积为定值4$\sqrt{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的标准方程、点的坐标、点到直线的距离、三角形面积公式，韦达定理等基础知识，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．