Question

19．已知a＞b＞0，椭圆C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，C₁与C₂离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则C₂的渐近线方程为（　　）

• A． $\sqrt{2}$x±y=0
• B． x±2y=0
• C． x±$\sqrt{2}$y=0
• D． 2x±y=0

Answer 1

分析 运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．

解答 解：圆C₁方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，
双曲线C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
由题意可得$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得a²=2b²，即为a=$\sqrt{2}$b，
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
则为x$±\sqrt{2}$y=0，
故选C．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．