Question

14．已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-$\frac{1}{x}$，a∈R；
（1）设h（x）=f（x）+g（x），若h（x）在定义域内存在极值，求a的取值范围；
（2）设f′（x）是f（x）的导函数，若0＜x₁＜x₂，a≠0，f′（t）=$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$（x₁＜t＜x₂），求证：t＜$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先求出h（x），求出h′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，根据条件，方程x²-ax+1=0①有两个不同实数根，从而△＞0，并且x=0时x²-ax+1=1＞0，从而判断出方程①的小根大于0，这样能求得a的一个范围，和△＞0求得的a的范围求交集即可；
（2）求f′（x），从而求出f′（t），将x₁，x₂带入f（x）解析式，从而便得到$t=\frac{{x}_{2}-x}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，从而可作差比较t和$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$的大小：t$-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=μ$，这样即可得到$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{[2（μ-1）-（1+μ）lnμ]{x}_{1}}{2lnμ}$，容易判断只要判断2（μ-1）-（1+μ）lnμ的符号即可，可设φ（μ）=2（μ-1）-（1+μ）lnμ，通过两次求导便可以判断该函数为减函数，从而得出φ（μ）＜0，这样即得出要证的结论．

解答 解：（1）h（x）=$x-alnx-\frac{1}{x}$，h′（x）=$1-\frac{a}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$；
∵h（x）在定义域内存在极值；
令x²-ax+1=0，则△=a²-4＞0，即a＞2，或a＜-2；
设H（x）=x²-ax+1，H（0）=1＞0；
∴方程x²-ax+1=0的小根$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}＞0$，解得：a＞2；
∴a的取值范围为（2，+∞）；
（2）f′（x）=$1-\frac{a}{x}$，∴f′（t）=$1-\frac{a}{t}$；
∴根据条件$1-\frac{a}{t}=\frac{{x}_{2}-aln{x}_{2}-{x}_{1}+aln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$1-\frac{aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；
∴$\frac{a}{t}=\frac{aln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$；
∵a≠0；
∴$t=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$；
∴$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$；
设$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=μ$，μ＞1，∴x₂=μx₁；
∴$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{[2（μ-1）-（1+μ）lnμ]{x}_{1}}{2lnμ}$；
∵lnμ＞0，x₁＞0；
所以只需判断2（μ-1）-（1+μ）lnμ的符号；
设φ（μ）=2（μ-1）-（1+μ）lnμ，μ＞1；
φ′（μ）=1-$\frac{1}{μ}-lnμ$，φ″（μ）=$\frac{1-μ}{{u}^{2}}$；
∵μ＞1；
∴φ″（μ）＜0；
即φ′（μ）为减函数，∴φ′（μ）＜φ′（1）=0；
∴φ（μ）为减函数，∴φ（μ）＜φ（1）=0；
∴$t-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，即t$＜\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$．

点评 考查函数极值的概念，一元二次方程实根的情况和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象，对数的运算，作差的方法比较两个式子的大小，对数函数的单调性，以及函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的运用．