Question

6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{2e}$，则f（x）在（0，+∞）上的单调性为（　　）

• A． 先增后减
• B． 单调递增
• C． 单调递减
• D． 先减后增

Answer 1

分析 根据$xf′（x）+2f（x）=\frac{lnx}{x}$得到x²f′（x）+2xf（x）=lnx，从而得到[x²f（x）]′=lnx，从而x²f（x）=xlnx-x+c，由条件f（e）=$\frac{1}{2e}$即可求出c，从而求出f（x），然后求导，根据导数符号即可判断f（x）的单调性．

解答 解：∵$xf′（x）+2f（x）=\frac{lnx}{x}$；
∴x²f′（x）+2xf（x）=lnx；
∴[x²f（x）]′=lnx；
∴x²f（x）=xlnx-x+c；
∵$f（e）=\frac{1}{2e}$；
∴${e}^{2}•\frac{1}{2e}=e-e+c$；
∴$c=\frac{e}{2}$；
∴${x}^{2}f（x）=xlnx-x+\frac{e}{2}$；
∴$f（x）=\frac{lnx-1}{x}+\frac{e}{2{x}^{2}}$；
∴$f′（x）=\frac{2x-xlnx-e}{{x}^{3}}$；
令g（x）=2x-xlnx-e，g′（x）=1-lnx；
∴x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0；
∴g（e）=0是g（x）的最大值；
∴f′（x）≤0恒成立；
∴f（x）是减函数．
故选：C．

点评 考查积的导数和商的导数的计算公式，已知一个函数的导函数，可以写出这个函数的解析式，根据函数导数求函数最值的方法与过程，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，注意正确求导．