Question

14．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，若S_n=1-na_n（n=1，2，3，…），则S_n关于n的表达式为S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1对S_n=1-na_n（n=1，2，3，…）进行变形，可得（n+1）S_n-nS_n-1=1、nS_n-1-（n-1）S_n-2=1、…、3S₂-2S₁=1，累加即得结论．

解答 解：∵S_n=1-na_n（n=1，2，3，…），
∴S_n=1-n（S_n-S_n-1）（n=2，3，…），
化简得：（n+1）S_n-nS_n-1=1，
∴nS_n-1-（n-1）S_n-2=1，
…
3S₂-2S₁=1，
叠加得：（n+1）S_n-2S₁=n-1，
∵S₁=a₁=1-a₁，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
∴（n+1）S_n=n，即S_n=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查求数列的和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．