Question

5．在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB上一点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（　　）   
①圆的面积为4π；
②椭圆的长轴为$\sqrt{37}$；
③双曲线两渐近线的夹角为π-arcsin$\frac{4}{5}$；
④抛物线中焦点到准线的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

• A． 1 个
• B． 2 个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由点M是母线的中点，可得截面圆的半径r=2，得出面积，即可判断出正误；
②椭圆的长轴长=$\sqrt{（4+2）^{2}+{1}^{2}}$，因此，即可判断出正误；
③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点$（2，2\sqrt{3}）$代入解得b，可得$\frac{b}{a}$=2，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，可得tan2θ，可得sin2θ，即可判断出正误；
④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y²=2px，把点$（\sqrt{5}，4）$代入解出即可．

解答 解：①∵点M是母线的中点，∴截面圆的半径r=2，因此面积=π×2²=4π，正确；
②椭圆的长轴长=$\sqrt{（4+2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，因此正确；
③在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0），取M（1，0），即a=1，把点$（2，2\sqrt{3}）$代入可得：$4-\frac{12}{{b}^{2}}$=1，解得b=2，∴$\frac{b}{a}$=2，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，∴tan2θ=$\frac{2×2}{1-{2}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$，∴sin2θ=$\frac{4}{5}$，因此双曲线两渐近线的夹角为arcsin$\frac{4}{5}$，因此不正确；
④建立直角坐标系，不妨设抛物线的标准方程为y²=2px，把点$（\sqrt{5}，4）$代入可得：${4}^{2}=2p×\sqrt{5}$，解得p=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∴抛物线中焦点到准线的距离p为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，不正确．
故选：B．

点评 本题考查了圆锥曲线的原始定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．