Question

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx，若f（2A）=f（2B），且A≠B．
（1）求∠C的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过辅助角公式及f（2A）=f（2B）、A≠B计算可得结论；
（2）利用三角形面积公式及基本不等式计算即得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），f（2A）=f（2B），
∴2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$），
又∵A≠B，∴（2A-$\frac{π}{6}$）+（2B-$\frac{π}{6}$）=π，
∴2（A+B）=π+$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{3}π$，
∴C=π-（A+B）=$π-\frac{2}{3}π$=$\frac{1}{3}π$；
（2）∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
又∵C=$\frac{1}{3}π$，∴ab=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a+b$≥2\sqrt{ab}$=$\sqrt{2}$，当且仅当a=b时取等号，
又∵A≠B，即a≠b，
∴a+b＞$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求三角形中角的大小及两边和的取值范围，涉及到辅助角公式、三角形面积公式、基本不等式等基本知识，注意解题方法的积累，属于中档题．