Question

12．设F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0（O为坐标原点），且3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则双曲线的离心率为5．

Answer 1

分析 运用双曲线的定义，结合条件可得|PF₁|=8a，|PF₂|=6a，再由（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得|OP|=|OF₂|，得到∠F₁PF₂=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由于点P在双曲线的右支上，
则由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|=$\frac{4}{3}$|PF₂|，
解得|PF₁|=8a，|PF₂|=6a，
由（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
即为（$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{O{F}_{2}}$-$\overrightarrow{OP}$）=0，
即有$\overrightarrow{OP}$²=$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²，
则△PF₁F₂中，|OP|=|OF₂|=|OF₁|，
则∠F₁PF₂=90°，
由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即有64a²+36a²=4c²，
即有c=5a，
即e=$\frac{c}{a}$=5．
故答案为：5

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查向量垂直的条件和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．