Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
（1）求p的值；
（2）过点Q（1，0）作两条直线l₁，l₂与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=3，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=2；
（2）不妨设AB的斜率k₁=k，求出CD的斜率k₂=3-k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线MN经过的定点坐标．

解答 解：（1）抛物线y²=2px的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得，3+$\frac{p}{2}$=4，解得p=2；
（2）证明：由题意知，k₁+k₂=3，
不妨设AB的斜率k₁=k，则CD的斜率k₂=3-k，
所以AB的直线方程是：y=k（x-1），CD的直线方程是y=（3-k）（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）-2k=$\frac{4}{k}$，
因为M是AB的中点，所以点M（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
同理可得，点N（1+$\frac{2}{（3-k）^{2}}$，$\frac{2}{3-k}$），
所以直线MN的方程是：y-$\frac{2}{k}$=$\frac{\frac{2}{k}-\frac{2}{3-k}}{\frac{2}{{k}^{2}}-\frac{2}{（3-k）^{2}}}$（x-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$），
化简得，y=（k-k²）（x-1）+$\frac{2}{3}$，令x=1，得y=$\frac{2}{3}$，
所以直线MN过定点（1，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．