Question

3．若函数f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a有零点，则a的取值范围是[3，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）=0得a=lnx+x+$\frac{2}{x}$，构造函数g（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用导数，求函数的极值即可得到结论．

解答 解：f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a=0得a=lnx+x+$\frac{2}{x}$，
设g（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，则函数的定义域为（0，+∞），
则函数的导数g′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{{x}^{2}}$=0，得$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$-1=0，
即（$\frac{1}{x}$-1）（$\frac{2}{x}$+1）=0
∵x＞0，∴$\frac{2}{x}$＞0，
∴$\frac{1}{x}$-1=0，即$\frac{1}{x}$=1，解得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，
当x＞1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，
即当x=1时，函数g（x）取得极小值，g（1）=ln1+1+2=3，
即g（x）≥3，
若函数f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a有零点，即方程g（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$=a有解，
即a≥3，
故a的取值范围是[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）

点评 本题主要考查函数零点的意义，构造函数，利用导数求出函数的最值是解决本题的关键．综合性较强．