Question

11．设两向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=2，|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，
（1）若向量2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$与向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直，求实数t的值；
（2）若向量2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$与向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$平行，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直得到数量积为0，结合已知，得到关于t的等式，解之．
（2）利用向量平行，得到2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$），再由向量相等得到 t，λ的方程组解之．

解答 解：（1）因为两向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=2，|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，
所以$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=2×1×cos60°=1，
因为向量2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$与向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$垂直，所以（2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，即2t${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+7t${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$+（2t²+7）$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，所以8t+7t+2t²+7=0，解得t=-7或者t=$-\frac{1}{2}$；
（2）因为向量2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$与向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$平行，所以2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+7$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+t$\overrightarrow{{e}_{2}}$），所以$\left\{\begin{array}{l}{2t=λ}\\{7=λt}\end{array}\right.$，解得t=$±\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查了向量的垂直和平行的性质、数量积的运算；关键是由垂直或者平行得到向量之间的等量关系，通过方程的思想求值．