Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₈=64，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$$＞\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁、公差为d，利用a₃=5、S₈=64计算即得结论；
（2）通过数列{a_n}的首项为1，公差为2可得S_n=n²，从而不等式成立等价于3n²＞1，而3n²＞1在n≥1时恒成立，即得结论．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{8}=8{a}_{1}+28d=64}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：∵数列{a_n}的首项为1，公差为2，
∴S_n=n+2×$\frac{n（n-1）}{2}$=n²，
要证：$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$$＞\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N^*），
即证：$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＞$\frac{2}{{n}^{2}}$，
只需证：[（n+1）²+（n-1）²]n²＞2（n²-1）²，
只需证：（n²+1）n²＞（n²-1）²，
只需证：3n²＞1，
而3n²＞1在n≥1时恒成立，并且以上每步均可逆，
从而不等式$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+$\frac{1}{{S}_{n+1}}$$＞\frac{2}{{S}_{n}}$（n≥2，n∈N^*）恒成立．

点评 本题考查求数列的通项，考查关于数列和的不等式恒成立问题，注意解题方法的积累，属于中档题．