Question

4．求下列函数的值域：
（1）y=-$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+2}$
（2）y=$\frac{-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
（3）y=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{{x}^{2}-3x+2}$．

Answer 1

分析 （1）分x为0和不为0变形，然后利用基本不等式求得函数值域；
（2）分x为0和不为0变形，当x≠0时由x²≥0求得答案；
（3）直接利用函数的单调性求得函数值域．

解答 解：（1）由y=-$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+2}$=-1+$\frac{x}{{x}^{2}+2}$．
当x=0时，y=-1；
当x＞0时，y=-1+$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$，
∵x+$\frac{2}{x}≥2\sqrt{2}$，∴$0＜\frac{1}{x+\frac{2}{x}}≤\frac{1}{2\sqrt{2}}$，则y∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{4}-1$]；
当x＜0时，y=-1+$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$，
∵$x+\frac{2}{x}≤-2\sqrt{2}$，∴$-\frac{1}{2\sqrt{2}}≤\frac{1}{x+\frac{2}{x}}＜0$，则y∈[$-\frac{\sqrt{2}}{4}-1，-1$）．
∴y=-$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+2}$的值域为[$-\frac{\sqrt{2}}{4}-1，-1$）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}}{4}-1$]∪{-1}；
（2）由y=$\frac{-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$．
当x=0时，y=0；
当x≠0时，y=$-\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$，
∵x²≥0，∴$\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，则$1+\frac{1}{{x}^{2}}＞1$，$0＜\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}＜1$，y∈（-1，0），
∴函数y=$\frac{-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$的值域为（-1，0]；
（3）∵函数y=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{{x}^{2}-3x+2}$的定义域为[3，+∞），
函数在[3，+∞）上为增函数，
∴函数的值域为[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数值域的求法，考查利用基本不等式求函数的最值，训练了利用函数单调性求函数值域，是中档题．