Question

9．函数f（x）=x-x²lnx的最大值是1．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，令g（x）=2xlnx+x-1，求出导数，求得单调区间，由g（x）的单调性可得f（x）的极值点，进而得到f（x）的单调区间，进而得到f（x）的极大值，且为最大值1．

解答 解：函数f（x）=x-x²lnx的导数为f′（x）=1-（2xlnx+x）
令g（x）=2xlnx+x-1，g′（x）=2（lnx+1）+1=2lnx+3，
当x＞${e}^{-\frac{3}{2}}$时，g′（x）＞0，可得g（x）在（${e}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）递增，
又g（1）=0，则g（x）=0的解只有x=1，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为1．
故答案为：1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，属于中档题．