Question

1．设f（x）=lg（$\frac{x-a}{1-x}$）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （0，1）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性，求出a的值，结合对数函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=lg（$\frac{x-a}{1-x}$）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
即lg（$\frac{-x-a}{1+x}$）+lg（$\frac{x-a}{1-x}$）=lg（$\frac{-x-a}{1+x}$•$\frac{x-a}{1-x}$）=lg$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=0，
即$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，解得a²=1，
即a=1或a=-1，
当a=1时，f（x）=lg（$\frac{x-a}{1-x}$）=lg$\frac{x-1}{1-x}$=lg（-1）无意义，
当a=-1时，设f（x）=lg（$\frac{x-a}{1-x}$）=lg$\frac{x+1}{1-x}$为奇函数，满足条件，
由f（x）＜0得lg$\frac{x+1}{1-x}$＜0，
即0＜$\frac{x+1}{1-x}$＜1，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{1-x}＞0}\\{\frac{x+1}{1-x}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}＜0}\\{\frac{x+1}{1-x}-1=\frac{2x}{1-x}＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{x＞1或x＜0}\end{array}\right.$，即-1＜x＜0，
即不等式的解集为（-1，0），
故选：A

点评 本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质以及对数函数的单调性是解决本题的关键．