Question

16．已知A+B+C=π，求证：cos$\frac{A}{2}$+cos$\frac{B}{2}$+cos$\frac{C}{2}$=4cos$\frac{π-A}{4}$cos$\frac{π-B}{4}$cos$\frac{π-C}{4}$．

Answer 1

分析 运用三角函数的和差化积公式和诱导公式，化简整理，即可得证．

解答 证明：由A+B+C=π
可得cos$\frac{A}{2}$+cos$\frac{B}{2}$+cos$\frac{C}{2}$=2cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A-B}{4}$+cos$\frac{π-A-B}{2}$
=2cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A-B}{4}$+sin$\frac{A+B}{2}$
=2cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A-B}{4}$+2sin$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{A+B}{4}$
=2cos$\frac{A+B}{4}$（cos$\frac{A-B}{4}$+cos$\frac{2π-A-B}{4}$）
=4cos$\frac{A+B}{4}$cos$\frac{π-B}{4}$cos$\frac{π-A}{4}$
=4cos$\frac{π-A}{4}$cos$\frac{π-B}{4}$cos$\frac{π-C}{4}$．
故等式成立．

点评 本题考查三角函数的和差化积公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．