Question

6．能够把圆O：x²+y²=9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为圆O的“亲和函数”，下列函数：
①f（x）=4x³+x²，②f（x）=ln$\frac{5-x}{5+x}$，③f（x）=$\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$，④f（x）=tan$\frac{x}{5}$是圆O的“亲和函数”的是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 圆O的“亲和函数”的图象必过圆心且是奇函数，由此能求出结果．

解答 解：由题意可得，“亲和函数”的图象经过圆心（0，0），且是奇函数
①中，f（0）=0，f（x）不是奇函数，故f（x）=4x³+x²不为“亲和函数”；
②中，f（0）=ln1=0，且f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln$\frac{5-x}{5+x}$为“亲和函数”；
③中，f（0）=2，所以f（x）=$\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$图象不过原点，故f（x））=$\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{2}$不为“亲和函数”；
④中，f（0）=tan0=0，且f（-x）=f（x），f（x）为奇函数，故f（x）=tan$\frac{x}{5}$为“亲和函数”．
故选：C．

点评 本题主要考查圆的标准方程，新定义，体现了转化的数学思想，得到“亲和函数”的图象经过圆心且是奇函数，是解题的关键，属于中档题．