Question

1．若动点P在直线l₁：x-2y-2=0上，动点Q在直线l₂：x-2y-8=0上，设线段PQ的中点为M（x₀，y₀），且（x₀-3）²+（y₀+1）²≤8，则x₀²+y₀²的取值范围是[5，18+$\frac{20\sqrt{10}}{5}$]．

Answer 1

分析 根据题意判断出点M的轨迹，利用点到直线的距离求得最小值，进而联立直线和圆的方程求得B的坐标，进而求得最大值．

解答 解：依题意知，M点在直线x-2y-5=0上，
又满足（x₀-3）²+（y₀+1）²≤8，
如图故M轨迹是直线与圆及内部的公共部分，M的轨迹为线段AB，
x₀²+y₀²的代表的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，
故原点到直线AB的距离的平方为最小值（$\frac{5}{\sqrt{1+4}}$）²=5，OA为最大值．
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{（x-3）^{2}+（y+1）^{2}=8}\end{array}\right.$，取得A坐标为（$\frac{4\sqrt{10}}{5}$+3，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$-1），
|OA|²=（$\frac{4\sqrt{10}}{5}$+3）²+（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$-1）²=18+$\frac{20\sqrt{10}}{5}$，
故答案为：[5，18+$\frac{20\sqrt{10}}{5}$]

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．解题的关键是利用数形结合思想，判断出点Q的轨迹．