Question

3．已知双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}$=1（a＞2）．
（1）若E的离心率为$\frac{{\sqrt{14}}}{3}$，求E的方程；
（2）设E的左、右焦点为F₁、F₂，点P为双曲线上的点，直线F₂P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，当a变化时，若点P是第一象限内的点，则点P在某一条定直线上吗？如果这条定直线存在，请求出直线方程；如果不存在这条定直线，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的离心率，解得a=3，然后求出椭圆E的方程．
（2）假设这条定直线存在．设P（x，y）、Q（0，y_Q），利用F₁P⊥F₁Q，推出x²-y²=2a²-4，与双曲线方程联立，然后求出直线方程．

解答 （1）解：$e=\frac{{\sqrt{{a^2}+（{a^2}-4）}}}{a}=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$，…（2分）
解得：a²=9…（3分）
∵a＞0，∴a=3…（4分）
E：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1$…（5分）
（2）解：假设这条定直线存在．
设P（x，y）、Q（0，y_Q），而$c=\sqrt{2{a^2}-4}$，F₁（-c，0）、F₂（c，0）
由P、F₂、Q三点共线知$\frac{{y-{y_Q}}}{x}=\frac{y}{x-c}（x≠c，x≠0）$，…（6分）
即${y_Q}=\frac{-yc}{y-c}$，…（7分）
所以$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x+c，y），$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=$（c，\frac{-yc}{x-c}）$…（8分）
因为F₁P⊥F₁Q，所以$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=$xc+{c}^{2}-\frac{{y}^{2}c}{x-c}=0$，…（9分）
故x²-y²=c²，即x²-y²=2a²-4，…（10分）
与双曲线方程联立得：$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=2{a^2}-4\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}=1\end{array}\right.$
解得${x^2}=\frac{a^4}{4}$，${y^2}=\frac{{{{（{a^2}-4）}^2}}}{4}$，…（12分）
若点P为第一象限内的点，则x＞0，y＞0，
所以$x=\frac{a^2}{2}$，$y=\frac{{{a^2}-4}}{2}$，…（13分）
∴x-y=2，
即点P在定直线x-y=2上．…（14分）

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．