Question

13．设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA=AD，MA⊥平面ABCD，如果△AMD面积为2，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．

Answer 1

分析 设球O是与平面MAB、平面AC、平面MDC都相切的球．然后找出球心所在的三角形，由面积求得AD=EF=2，求出内切圆半径即可求出最大值．

解答 解：由MA⊥平面ABCD，MA=AD，△AMD面积为2，
即有MA⊥AD，$\frac{1}{2}$AM•AD=2，解得AD=2，
CD⊥AD，MA⊥CD，则有CD⊥平面MAD，即有CD⊥MD，
记E是AB的中点，从而ME=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$．
EF=2，MF=$\sqrt{4+4+1}$=3，
设球O是与平面MAB、平面AC、平面MDC都相切的球．
不妨设O∈平面MEF，于是O是△MEF的内心．
设球O的半径为r，则r=$\frac{2{S}_{△MEF}}{EF+EM+MF}$，
r=$\frac{2×\frac{1}{2}×2\sqrt{5}}{2+3+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
则能够放入这个棱锥的最大球的半径为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．