Question

5．如图，△ABC所在平面上的点P_n（n∈N^*）均满足△P_nAB与△P_nAC的面积比为3：1，$\overrightarrow{{P_n}A}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$-（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$（其中，{x_n}是首项为1的正项数列），则x₄等于（　　）

• A． 15
• B． 17
• C． 33
• D． 31

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{P_n}A}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$-（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$可得$\overrightarrow{{P_n}A}$+（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$，画出图形后利用三角形面积的关系得到数列递推式，然后构造等比数列得答案

解答 解：由$\overrightarrow{{P_n}A}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$-（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$得$\overrightarrow{{P_n}A}$+（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$，
设$\overrightarrow{{P}_{n}D}$=（2${x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$$\overrightarrow{{P}_{n}C}$，
以线段P_nA、P_nD作出平行四边形AEDP_n，如图，
则$\overrightarrow{{P}_{n}A}+\overrightarrow{{P}_{n}D}=\overrightarrow{{P}_{n}E}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}E}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}B}|}=\frac{{x}_{n+1}}{3}$，∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AE}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}=\frac{{x}_{n+1}}{3}$，
∵$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}D}|}=\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{AE}=\frac{1}{2{x}_{n}+1}$，
∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AD}}=\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AE}}=\frac{1}{1+2{x}_{n}}$，
则$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}$=$\frac{{x}_{n+1}}{3（1+2{x}_{n}）}=\frac{1}{3}$，
即x_n+1=2x_n+1，∴x_n+1+1=2（x_n+1），
则{x_n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以x₄+1=2×2³=16，所以x₄=15；
故选A．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属于难题．