Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n=$\frac{3}{4}$S_n+$\frac{1}{2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）若不等式T_n+$\frac{a}{n}$•2²ⁿ⁺¹-$\frac{2}{9}$＞0的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=na_n=2n×4^n-1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）不等式T_n+$\frac{a}{n}$•2²ⁿ⁺¹-$\frac{2}{9}$＞0的n∈N^*恒成立，化为a＞$\frac{n（2-6n）}{36}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{3}{4}$S_n+$\frac{1}{2}$（n∈N^*），∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{3}{4}{a}_{1}+\frac{1}{2}$，解得a₁=2．
当n≥2时，${a}_{n-1}=\frac{3}{4}{S}_{n-1}+\frac{1}{2}$，∴a_n-a_n-1=$\frac{3}{4}{a}_{n}$，∴a_n=4a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，
∴${a}_{n}=2×{4}^{n-1}$．
（2）b_n=na_n=2n×4^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2（1+2×4+3×4²+…+n×4^n-1），
∴4T_n=2（4+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ），
∴-3T_n=2（1+4+4²+…+4^n-1-n×4ⁿ）=2$（\frac{{4}^{n}-1}{4-1}-n×{4}^{n}）$，
∴T_n=$\frac{（6n-2）×{4}^{n}+2}{9}$．
（3）不等式T_n+$\frac{a}{n}$•2²ⁿ⁺¹-$\frac{2}{9}$＞0的n∈N^*恒成立，∴$\frac{（6n-2）×{4}^{n}+2}{9}$+$\frac{a}{n}$•2²ⁿ⁺¹-$\frac{2}{9}$＞0，
化为a＞$\frac{n（1-3n）}{9}$，
∵$\frac{n（1-3n）}{9}$=$-\frac{1}{3}（n-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{1}{108}$≤-$\frac{2}{9}$，（n=1时）
∴a＞$\frac{2}{9}$．
∴实数a的取值范围是$（-\frac{2}{9}，+∞）$．

点评 本题考查了递推式与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．