Question

10．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴为AB，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，M为椭圆上非A，B的点，MA，MB与x轴交于点E，F，且|OE|•|OF|=4
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P，Q为椭圆上两点，连接OP，OQ，满足k_OP•k_OQ=-$\frac{1}{4}$，求证：|OP|²+|OQ|²为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c 的关系，以及点满足方程，通过直线AM，BM的方程求得|OE|，|OF|的长，结合条件解方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由P，Q为椭圆上的点，由椭圆的参数方程，结合三角函数的恒等变换公式，化简即可得到定值5．

解答 解：（Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，则a=2b，①
设M（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即b²m²=a²b²-a²n²，②
k_AM=$\frac{n+b}{m}$，AM：y=$\frac{n+b}{m}$x-b，可得|OE|=|$\frac{bm}{b+n}$|，
同理可得|OF|=|$\frac{bm}{b-n}$|，则|OE|•|OF|=$\frac{{b}^{2}{m}^{2}}{{b}^{2}-{n}^{2}}$=4③
由①②③可得a²=4，b²=1，
即椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由P，Q为椭圆上的点，
可设$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2cosα}\\{{y}_{1}=sinα}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2cosβ}\\{{y}_{2}=sinβ}\end{array}\right.$，又k_OP•k_OQ=-$\frac{1}{4}$，
可得$\frac{sinαsinβ}{4cosαcosβ}$=-$\frac{1}{4}$，即有cos（α-β）=0，即有α=β+kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则|OP|²+|OQ|²=4cos²α+sin²α+4cos²β+sin²β=2+3（cos²α+cos²β）
=2+3[cos²（β+kπ+$\frac{π}{2}$）+cos²β]=2+3（sin²β+cos²β）=2+3=5．
即有|OP|²+|OQ|²为定值．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查椭圆的参数方程和三角函数的化简和求值，属于中档题．