Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{1-{a^2}}}=1$，点P到两定点A（-1，0）．B（1，0）的距离之比为$\sqrt{2}$，点B到直线PA的距离为1．
（1）求直线PB的方程；
（2）求证：直线PB与椭圆C相切；
（3）F₁、F₂分别为椭圆C的左右焦点，直线PB与椭圆C相切于点M，直线MF₂交y轴于点N，求∠MF₁N．

Answer 1

分析 （1）确定∠BAC=30°，利用正弦定理得$sin∠PBA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即直线PB的倾斜角为45°或135^°．即可求直线PB的方程；
（2）将y=x-1代入椭圆方程，求得方程的根，即可证明：直线PB与椭圆C相切；
（3）证明MF₁⊥NF₁，故∠MF₁N=90°．

解答 （1）解：过B作PA的垂线，垂足为C，
|AB|=2，|BC|=1知，∠BAC=30°…（1分）
在△PAB中，由正弦定理得，$\frac{{|{PA}|}}{sin∠PBA}=\frac{{|{PB}|}}{sin∠PAB}$…（2分）
∵$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}=\sqrt{2}$，∴$sin∠PBA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即直线PB的倾斜角为45°或135°，…（3分）
∴直线PB的方程是y=x-1或y=-x+1．…（4分）
（2）证明：若PB方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程得，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（x-1）^{2}}{1-{a}^{2}}=1$，
整理得，x²-2a²x+a⁴=0，解得，${x_1}={x_2}={a^2}$，…（7分）
所以直线y=x-1与椭圆C相切，同理直线y=-x+1与椭圆C也相切．…（8分）
（3）解：设切点坐标M（x₀，y₀），由（1）知${x_0}^2={a^4}$，${y_0}^2={（{a^2}-1）^2}$，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c²=a²-（1-a²）=2a²-1，
又设N（0，y），则$\frac{y-0}{0-c}=\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}-c}}$，$y=-\frac{{c{y_0}}}{{{x_0}-c}}$，…（10分）
${k_{M{F_1}}}•{k_{N{F_1}}}=\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+c}}×\frac{y-0}{0+c}=-\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{c^2}}}$
=$-\frac{{{{（{a^2}-1）}^2}}}{{{a^4}-（2{a^2}-1）}}=-1$…（12分）
∴MF₁⊥NF₁，故∠MF₁N=90°…（13分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．