Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M（$\sqrt{2}$c，$\sqrt{2}$ce）在椭圆C上，O是坐标原点．
（Ⅰ）求e的大小；
（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C的长轴长的$\frac{3}{4}$，求直线ON的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点M（$\sqrt{2}$c，$\sqrt{2}$ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；
（Ⅱ）利用|FN|等于C的长轴长的$\frac{3}{4}$，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵点M（$\sqrt{2}$c，$\sqrt{2}$ce）在椭圆C上，
∴$\frac{2{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{2{c}^{2}{e}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴b²=2c²，
∴a²=3c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）C的方程可化为$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}=1$，设N（x₁，y₁），
则∵|FN|等于C的长轴长的$\frac{3}{4}$，
∴|FN|²=（x₁+c）²+y₁²=$（\frac{3}{4}×2\sqrt{3}c）^{2}$，
∴4x₁²+24cx₁-45c²=0，
∴x₁=$\frac{3}{2}$c，
∴y₁=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
∴直线ON的方程为$y=±\frac{\sqrt{2}}{3}x$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．