Question

5．用数学归纳法证明：
（1）首项是a₁，公差是d的等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d，前n项和的公式S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d；
（2）首项是a₁，公比是q的等比数列的通项公式是a_n=a₁q^n-1，前n项和的公式是S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（q≠1）．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列及前n项和的定义，a_k+1=a_k+d，S_k+1=S_k+a_k+1，按照数学归纳法的证明步骤进行证明即可；
（2）过程同（1），只是根据等比数列的定义a_k+1=a_kq．

解答 证明：（1）①证明等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d：
1）n=1时，显然成立；
2）假设n=k时成立，即：a_k=a₁+（k-1）d；
∴a_k+1=a_k+d=a₁+（k-1）d+d=a₁+kd；
即n=k+1时通项公式成立；
∴综上得等差数列的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d成立；
②证明等差数列的前n项和公式为${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$：
1）n=1时，显然成立；
2）假设n=k时成立，即：
${S}_{k}=k{a}_{1}+\frac{k（k-1）}{2}d$；
∴S_k+1=S_k+a_k+1=$k{a}_{1}+\frac{k（k-1）}{2}d+{a}_{1}+kd$=$（k+1）{a}_{1}+\frac{（k+1）k}{2}d$；
∴n=k+1时成立；
∴综上得等差数列的前n项和公式为${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$成立；
（2）①证明等比数列的通项公式为${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$：
1）n=1时显然成立；
2）假设n=k时成立，即：
${a}_{k}={a}_{1}{q}^{k-1}$；
∴${a}_{k+1}={a}_{k}•q={a}_{1}{q}^{k}$；
即n=k+1时成立；
综上得等比数列的通项公式为${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$成立；
②证明等比数列的前n项和公式为${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$：
1）n=1时，显然成立；
2）假设n=k时成立，即：${S}_{k}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}$；
∴${S}_{k+1}={S}_{k}+{a}_{k+1}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k}）}{1-q}+{a}_{1}{q}^{k}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{k+1}）}{1-q}$；
∴n=k+1是成立；
∴综上得等比数列的前n项和公式为${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$成立．

点评 考查等差数列、等比数列的定义，熟悉利用数学归纳法证题的步骤，以及数列前n项和的定义．