Question

12．已知A、B为抛物线C：y²=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，则直线AB的斜率为多少？

Answer 1

分析 先设点A，B的坐标，写出直线方程后与抛物线方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，代入抛物线的方程中求得直线AB的斜率．

解答 解：由题意可知直线的斜存在，故可设为k（k≠0），
∵抛物线 C：y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（2+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$k•（\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}-2）=\frac{4}{k}$，①
$\overrightarrow{FA}=（{x}_{1}-1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{FB}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$．
∵$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-1=-4（{x}_{2}-1）}\\{{y}_{1}=-4{y}_{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4{x}_{2}+5}\\{{y}_{1}=-4{y}_{2}}\end{array}\right.$，②
联立①②可得，${x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}}，{y}_{2}=-$$\frac{4}{3k}$，代入抛物线方程y²=4x可得
$\frac{16}{9{k}^{2}}=4•\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}}$，即9k²=16，∴k=±$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用以及向量的有关知识，是中档题．